Глава 6. Непрерывные случайные величины.
§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.
Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.
Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла
Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .
Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :
1..gif" width="97" height="51">
3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .
4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :
5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:
График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.
Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:
Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .
Решение. Константа C находится из условия Имеем:
откуда C=3/8.
Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">
так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае
Наконец, в последнем случае, когда x>2,
Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения
Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,
§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.
Дисперсия
x может быть вычислена по формуле 
, а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.
Задача 2 . Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
И значит,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
График плотности равномерного распределения см. на рис. .
Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона
Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна
Fx(x)= 
Математическое ожидание и дисперсия ; .
Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна
рx(x)=
Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.
Функция распределения показательного распределения имеет вид
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , если ее плотность распределения равна
.
Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .
Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна
.
Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона
Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным , и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
а функция распределения
Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа
,
следующим соотношением 
. В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:
.
Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле
.
Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=.
Задача 3. Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Решение. Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Распределение Лапласа задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3.
Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.
Случайная величина x распределена по закону Вейбулла , если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.
Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. .
В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями
Fx(x)=P(x
Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины .
Решение. Из условия задачи следует, что
Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию 
, производная которой равна Следовательно,
§ 5. Пара непрерывных случайных величин
Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.
Совместной функцией распределения
случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью
распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что 
.
Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">
Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A . Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:
Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.
Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна
Событие соответствует множеству 
на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность
На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому
Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что
Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h?
Решение . Вычислим частные плотности и . Имеем:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .
Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:
.
Представив треугольник в виде
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин
Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы .
Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны
Следовательно,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Таким образом, мы получили ответ:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения
.
Найти функцию распределения и плотность распределения величин:
а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }
Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин
x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.
Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.
Вычислительные задачи.
Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке . 
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид: 
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения
Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна
.
Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность
Р (0,25 Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности р(х) = Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача. Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = . Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения F(x) = P(x Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных значений. Поэтому ввести для них ряд распределения нельзя. Вместо вероятности того, что случайная величина Х примет значение, равное х, т.е. p(X = x), рассматривают вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х, т.е. Р(Х < х). Введем новую характеристику случайных величин - функцию распределения и рассмотрим ее свойства. Функция распределения - самая универсальная характеристика случайной величины. Она может быть определена как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин: F(x) = p(X < x). Свойства функции распределения. Функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. если: На минус бесконечности функция распределения равна нулю: На плюс бесконечности функция распределения равна единице: Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал определяется формулой: Функция f(x), равная производной от функции распределения, называется плотностью вероятности случайной величины Х или плотностью распределения: Выразим вероятность попадания на участок б до в через f(x). Она равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е. интегралу: Отсюда можно выразить функцию распределения через плотность вероятности: Свойства плотности вероятности. Плотность вероятности является неотрицательной функцией (так как функция распределения является неубывающей функцией): Плотность вероятно сти является непрерывной функцией. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен 1: Плотность вероятности имеет размерность случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их нахождения путем замены: Тогда получаем формулы для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины: Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением: Найти величину a, плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0,25-0,5), математическое ожидание и дисперсию. Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х = 1 ax2 = 1, следовательно, a = 1. Плотность вероятности находится, как производная от функции распределения: Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с помощью функции распределения и с помощью плотности вероятности. Находим математическое ожидание: Находим дисперсию: Равномерное распределение Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой лежат в некотором интервале и равновероятны. Плотность вероятности такой случайной величины будет иметь вид: где с - некоторая постоянная. График плотности вероятности изобразится следующим образом: Выразим параметр с через б и в. Для этого используем тот факт, что интеграл от плотности вероятности по всей области должен быть равен 1: Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины Найдем функцию распределения: Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Построим график функции распределения: Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению. Тогда среднеквадратичное отклонение будет иметь вид: Нормальное (Гауссово) распределение Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами a, у > 0, если она имеет плотность вероятности: Кривая распределение случайной величины, имеет вид: Контрольная работа 2 Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 1 ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х - числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 2 В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х - числа очков на нем. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 3 Охотник стреляет по дичи до попадания, но может сделать не более трех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х - числа выстрелов сделанных стрелком. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 4 Вероятность превысить заданную точность при измерении равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х - число ошибок при 10 измерениях. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 5 Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,45. Произведено 20 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х - числа попаданий. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 6 Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х - числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 7 Нужные сборщику детали находятся в трех из пяти ящиков. Сборщик вскрывает ящики до тех пор пока не найдет нужные детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа вскрытых ящиков. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 8 В урне 3 черных и 2 белых шара. Производится последовательное без возвращения извлечение шаров до появления черного. Составить закон распределения случайной величины Х - числа извлеченных шаров. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 9 Студент знает 15 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Составить закон распределения случайной величины Х - числа известных студенту вопросов в билете. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 10 Имеется 3 лампочки, каждая из которых с вероятностью 0,4 имеет дефект. При включении дефектная лампочка перегорает и заменяется другой. Составить закон распределения случайной величины Х - числа испробованных ламп. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (б, в). Построить графики функций F(X) и f(X). Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вопросы к экзамену Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Размещение. Примеры. Элементы комбинаторики. Перестановка. Примеры. Элементы комбинаторики. Сочетания. Примеры. Теорема о сумме вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Операции над событиями. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Пример. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Биномиальное распределение случайной величины. Распределение Пуассона. Распределение по закону геометрической прогрессии. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность вероятности и ее свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Дисперсия непрерывной случайной величины. Равномерное распределение непрерывной случайной величины. Нормальный закон распределения. В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция». Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1 Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(aX Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения: Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице: Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и построить ее график. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x) Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: Свойства плотности распределения вероятностей:
1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0. Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х Решение: Искомая вероятность: Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл: M(x)=xf(x)dx (9) Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то: M(x)=xf(x)dx (10) Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством: P{X e (X)}=P{X>M e (X)} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то: D(x)= 2 f(x)dx (11) Если возможные значения принадлежат всей оси х, то. Функцией распределения
случайной
величиныХ
называется функцияF
(х
),
выражающая для каждогох
вероятность
того, что случайная величинаХ
примет
значение, меньшеех
: Функцию
F
(х
)
иногда называют интегральной
функцией распределения,
или интегральным
законом распределения
. Случайная
величина Х
называется непрерывной
,
если ее функция распределения непрерывна
в любой точке и дифференцируема всюду,
кроме, быть может, отдельных точек. Примеры
непрерывных случайных величин: диаметр
детали, которую токарь обтачивает до
заданного размера, рост человека,
дальность полета снаряда и др. Теорема.
Вероятность любого отдельно взятого
значения непрерывной случайной величины
равна нулю Следствие.
Если Х
-
непрерывная случайная величина, то
вероятность попадания случайной величины
в интервал Если
непрерывная случайная величина Х
может принимать только значения в
границах от а
до b
(где а
и b
-
некоторые постоянные), то функция
распределения ее равна нулю для всех
значений Все свойства функций распределения
дискретных случайных величин выполняются
и для функций распределения непрерывных
случайных величин. Задание
непрерывной случайной величины с помощью
функции распределения не является
единственным. Плотностью
вероятности
(плотностью
распределения
или плотностью
)
р
(х
)
непрерывной случайной величины Х
называется производная ее функции
распределения Плотность
вероятности р
(х
), как и функция
распределенияF
(х
), является
одной из форм закона распределения, но
в отличие от функции распределения она
существует только длянепрерывных
случайных величин. Плотность
вероятности иногда называют дифференциальной
функцией, или дифференциальным законом
распределения
. График плотности
вероятности называется кривой
распределения. Свойства
плотности вероятности непрерывной
случайной величины: Рис. 8.1
Рис. 8.2
4.
Геометрически
свойства плотности вероятности означают,
что ее график - кривая распределения -
лежит не ниже оси абсцисс, и полная
площадь фигуры, ограниченной кривой
распределения и осью абсцисс, равна
единице. Пример
8.1.
Минутная
стрелка электрических часов передвигается
скачками поминутно. Вы бросили взгляд
на часы. Они показывают а
минут. Тогда для вас истинное время в
данный момент будет случайной величиной.
Найти ее функцию распределения. Решение.
Очевидно, что функция распределения
истинного времени равна 0 для всех
О Рис. 8.3
Пример
8.2.
Является
ли функцией распределения некоторой
случайной величины функция Решение.
Все
значения этой функции принадлежат
отрезку
Выполняются и
равенства: Следовательно,
функция
Пример
8.3.
Является
ли функцией распределения некоторой
случайной величины функция Решение.
Данная функция не является функцией
распределения случайной величины, так
как напромежутке
она убывает и не является непрерывной.
График функции изображен на рис. 8.5. Рис. 8.5
Пример
8.4.
Случайная величина Х
задана функцией распределения Найти
коэффициент а
и плотность вероятности случайной
величины Х
.
Определить вероятность неравенства Решение.
Плотность распределения равна первой
производной от функции распределения Коэффициент
а
определяем с помощью равенства Тот
же результат можно было получить,
используя непрерывность функции
Следовательно,
Поэтому плотность
вероятности имеет вид Вероятность
Пример
8.5.
Случайная величина Х
имеет плотность вероятности (закон
Коши) Найти
коэффициент а
и вероятность того, что случайная
величина Х
примет какое-нибудь значение из интервала
Решение.
Найдем коэффициент а
из равенства Следовательно,
Итак,
Вероятность того, что случайная величина
Х
примет какое-нибудь значение из
интервала
Найдем функцию распределения данной
случайной величины П Рис. 8.6
Решение.
Пользуясь графиком, записываем
аналитическое выражение плотности
распределения вероятностей данной
случайной величины Найдем
функцию распределения. Если
Если
Если
Если
Следовательно, функция распределения
имеет вид 9. Непрерывная случайная величина, её числовые характеристики
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью двух функций. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х
называется функция , определённая равенством Интегральная функция даёт общий способ задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. В случае непрерывной случайной величины . Все события: имеют одну и ту же вероятность, равную приращению интегральной функции на этом промежутке, т.е.. Например, для дискретной случайной величины, заданной в примере 26, имеем: Таким образом, график интегральной функции рассматриваемой функции представляет собой объединение двух лучей и трёх отрезков, параллельных оси Ох. Пример 27
. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей Построить график интегральной функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (0,5;1,5). Решение. На интервале Вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение в интервале (0,5;1,5) находим по формуле . Таким образом, . Свойства интегральной функции распределения вероятностей: Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью другой функции, а именно, функции плотности вероятности
Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадает в интервал График функции называется кривой распределения
. Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми Свойства функции плотности вероятности : 9.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание
(средним значением) непрерывной случайной величины Х определяется равенством М(Х) обозначают через а
. Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает аналогичными, как и дискретная величина, свойствами: Дисперсией
дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания, т.е. . Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется формулой Дисперсия обладает свойствами: Последнее свойство очень удобно применять для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины. Аналогично вводится и понятие среднего квадратического отклонения. Средним квадратическим отклонением непрерывной
случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии, т.е. Пример 28
. Непрерывнаяслучайная величина Х задана функцией плотности вероятностей 1). Для нахождения параметра а
используем формулу 2). Для нахождения математического ожидания используем формулу: , откуда следует, что Дисперсию будем находить по формуле: Найдём среднее квадратическое отклонение по формуле: , откуда получим, что 3). Интегральная функция выражается через функцию плотностей вероятностей следующим образом: Графики этих функций представлены на рис. 4. и рис. 5. Рис.4 Рис.5. 9.2. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х равномерно
на интервале , если её плотность вероятности постоянна на этом интервале и равна нулю вне этого интервала, т.е. . Легко показать, что в этом случае Если интервал Пример 29.
Событие, состоящее из мгновенного сигнала, должно произойти между часом дня и пятью часами. Время ожидания сигнала есть случайная величина Х. Найти вероятность того, что сигнал будет зафиксирован между двумя и тремя часами дня. Решение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение, и по формуле найдём, что вероятность того, что сигнал будет между 2 и 3 часами дня, равна В учебной и другой литературе часто обозначают в литературе через 9.3. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если её закон распределения вероятностей определяется плотностью вероятности Теорема. Вероятность попадания нормально распределённой непрерывной случайной величины в заданный интервал Следствием этой теоремы является правило трёх сигм , т.е. практически достоверно, что нормальна распределённая, непрерывная случайная величина Х принимает свои значения в интервале Пример 30.
Срок работы телевизора представляет собой случайную величину Х, подчинённую нормальному закону распределения, с гарантийным сроком 15 лет и средним квадратическим отклонением, равным 3 годам. Найти вероятность того, что телевизор проработает от 10 до 20 лет. Решение. По условию задачи математическое ожидание а
= 15, среднее квадратическое отклонение . Найдём
. Таким образом, вероятность работы телевизора от 10 до 20 лет более 0,9. 9.4.Неравенство Чебышева
Имеет место лемма Чебышева
. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного в
Учитывая, что , как сумма вероятностей противоположных событий, получим, что Теорема Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечную дисперсию Откуда следует, что Пример 31.
Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины деталей равна100 см., а среднее квадратическое отклонение равно 0,4см. Оценить снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 99см. и не более 101см. Решение. Дисперсия . Математическое ожидание равно 100. Следовательно, для оценки снизу вероятности рассматриваемого события 10. Элементы математической статистики
Статистической совокупностью
называют множество однородных предметов или явлений. Число п
элементов этого множества называется объёмом совокупности. Наблюдаемые значения Отношение частоты к объёму статистической совокупности называют относительной частотой
признака: Соотношение между вариантами вариационного ряда и их частотами называют статистическим распределением выборки
. Графическим представлением статистического распределения может служить полигон
частот. Пример 32.
Путём опроса 25 студентов первого курса получены следующие данные об их возрасте: Решение. Используя данные, полученные при опросе, составим статистическое распределение выборки Размах выборки варьирования равен 23 – 17 = 6. Для построения полигона частот, строят точки с координатами Ряд распределения относительных частот имеет вид: 10.1.Числовые характеристики вариационного ряда
Пусть выборка задана рядом распределения частот признака Х: Сумма всех частот равна п.
Средним арифметическим выборки
называют величину Дисперсией
или мерой рассеяния значений признака Х по отношению к его среднему арифметическому называют величину Отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации
: Эмпирической функцией распределения относительных частот
называют функцию, определяющую для каждого значения относительную частоту события Пример 33.
В условиях примера 32 найти числовые характеристики Решение. Найдём среднее арифметическое выборки по формуле , тогда . Дисперсия признака Х находится по формуле: , т. е. . Среднее квадратическое отклонение выборки равно 10.2. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал
Пусть проводится п
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р
. В этом случае вероятность того, что относительная частота будет отличаться от вероятности появления события А в каждом испытании по абсолютной величине не больше, чем на , приближённо равна удвоенному значению интегральной функции Лапласа: Интервальной оценкой
называют такую оценку, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр статистической совокупности. Доверительным интервалом
Пример 34
. Заводской цех выпускает электрические лампочки. При проверке 625 ламп оказалось 40 бракованных. Найти с доверительной вероятностью 0,95 границы, в которых заключён процент брака лампочек, выпускаемых заводским цехом. Решение. По условию задачи . Используем формулу 10.3. Оценка параметров в статистике
Пусть количественный признак Х всей исследуемой совокупности (генеральной совокупности) имеет нормальное распределение. Если среднее квадратическое отклонение известно, то доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а
Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то по данным выборки можно построить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с п
– 1 степенями свободы, которое определяется только одним параметром п
и не зависит от неизвестных а
и . Распределение Стьюдента даже для малых выборок Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение этого признака с доверительной вероятностью , находится по формулам: и , где 10.4. Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами
Корреляционной зависимостью У от Х называют функциональную зависимость условной средней Корреляционная зависимость может быть линейной и криволинейной. В случае линейной корреляционной зависимости уравнение прямой линии регрессии имеет вид: При малых выборках данные не группируются, параметры Выборочный линейный коэффициент корреляции Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х имеет вид: При большом числе наблюдений признаков Х и У составляется корреляционная таблица с двумя входами, при этом одно и то же значение х
наблюдается Пример 35.
Дана таблица наблюдений признаков Х и У. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х. Решение. Связь между изучаемыми признаками может быть выражена уравнением прямой линии регрессии У на Х: . Для вычисления коэффициентов уравнения составим расчётную таблицу: № наблюдения
.
. Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р
, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность
. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна 
.
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1
Справедливы следующие предельные соотношения: 
Рисунок-1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:
Рисунок-2
(8)
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
.
.
не зависит от того, является этот интервал
открытым или закрытым, т.е.
и единице для значений 
.Для непрерывной случайной величины
.
.
и единице для
.
Время течет равномерно. Поэтому
вероятность того, что истинное время
меньше а
+
0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково
вероятно, прошло ли после а
менее или более полминуты. Вероятность
того, что истинное время меньше а
+ 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого
времени втрое меньше вероятности того,
что истинное время больше а
+ 0,25 мин, а сумма их равна единице, как
сумма вероятностей противоположных
событий). Аналогично рассуждая, найдем,
что вероятность того, что истинное время
меньше а
+ 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность
того, что истинное время меньше а
+ + α
мин
,
равна α
.
Следовательно, функция распределения
истинного времени имеет следующее
выражение:
на
непрерывна всюду, а производная ее
непрерывна во всех точках, за исключением
двух:х = а
их = а
+ 1.
График этой функции имеет вид
(рис. 8.3):
,
т.е.
.
Функция F
(х
)
является неубывающей: в промежутке
она постоянна, равна нулю, в промежутке
возрастает, в промежутке
также постоянна, равна единице (см.
рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой
точке х
0
области ее определения - промежутка
,
поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется
равенство
,
.
,
.
удовлетворяет всем свойствам, характерным
для функции распределения. Значит данная
функция
является функцией распределения
некоторой случайной величиныХ
.
.
,
.
в точке
,
.
.
попадания
случайной величины Х
в заданный промежуток вычисляется по
формуле
.
.
Найти функцию распределения этой
случайной величины.
,
.
.
,
равна
ример
8.6.
График плотности вероятности
случайной величиныХ
изображен на
рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать
выражение плотности вероятности ифункцию
распределения этой случайной величины.
,
то
.
,
то
.
,
то
,
то
.
.
графиком является прямая у = 0. На промежутке от 0 до 2 – парабола, заданная уравнением 
. На интервале 
графиком является прямая у = 1.
.
, определяется равенством 
.
.
.
.
.
в интервале (10;12), вне этого промежутка значение функции равно 0. Найти 1) значение параметра а,
2) математическое ожидание М(Х), дисперсию 
, среднее квадратическое отклонение, 3) интегральную функцию 
и построить графики интегральной и дифференциальной функций.
. Получим . Таким образом, 
.
.
, т.е. .
.
. Следовательно, 
при 
, = 0 при 
и = 1 при
.
.
содержится в интервале , то 
.
.
.
. Для таких величин а
– математическое ожидание, 
- среднее квадратическое отклонение.
определяется по формуле 
, где 
- функция Лапласа.
. Это правило выводимо из формулы 
, являющейся частным случаем сформулированной теоремы.
.
.
и математическое ожидание М(Х), то для любого положительного 
справедливо неравенство
.
.
применим неравенство Чебышева , в котором 
, тогда 
.
признака Х называют вариантами
. Если варианты расположены в возрастающей последовательности, то получен дискретный вариационный ряд
. В случае группировки вариант по интервалам получается интервальный вариационный ряд
. Под частотой т
значения признака понимают число членов совокупности с данной вариантой.
.
. Составить статистическое распределение студентов по возрасту, найти размах варьирования, построить полигон частот и составить ряд распределения относительных частот.
и последовательно их соединяют.
.
. Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии, т.е. .
.
, т.е. 
, где 
- число вариант, меньших х
, а п
– объём выборки.
.
. Коэффициент вариации равен 
.
.
называют интервал, который с заданной доверительной вероятностью 
покрывает оцениваемый параметр статистической совокупности. Рассматривая формулу , в которой заменим неизвестную величину р
на её приближённое значение 
, полученное по данным выборки, получим: 
. Эта формула служит для оценки вероятности по относительной частоте. Числа 
и 
называют нижней и соответственно верхней доверительными границами
, - предельной погрешностью для данной доверительной вероятности 
.
. По таблице 2 приложения находим значение аргумента, пи котором значение интегральной функции Лапласа равно 0,475. Получим, что 
. Таким образом, . Следовательно, можно сказать с вероятностью 0,95, что доля выпускаемого брака цехом высока, а именно, изменяется в пределах от 6,2% до 6,6%.
, где п
– объём выборки, 
- выборочная средняя арифметическая, t
– аргумент интегральной функции Лапласа, при котором 
. При этом число 
называют точностью оценки.
даёт вполне удовлетворительные оценки. Тогда доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а
этого признака с заданной доверительной вероятностью , находится из условия 
, где S – исправленное среднее квадратическое, 
- коэффициент Стьюдента, находится по данным 
из таблицы 3 приложения.
находится по таблице значений q
по данным .
от х.
Уравнение 
представляет уравнение регрессии У на Х, а 
- уравнение регрессии Х на У.
, где угловой коэффициент а
прямой линии регрессии У на Х называется выборочным коэффициентом регрессии У на Х и обозначается 
.
находятся по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:
, где п
– число наблюдений значений пар взаимосвязанных величин.
показывает тесноту связи У и Х. Коэффициент корреляции находится по формуле 
, причём 
, а именно:
.
раз, одно и то же значение у
наблюдается 
раз, одна и та же пара 
наблюдается 
раз.
